Question

已知i，m，n是正整数，且1<i≤m<n．

求证：(1)nⁱ<mⁱ；

(2)(1＋m)·n>(1＋n)·m．

 

Answer 1

答案：
解析：

求证：(1)ni<mi； (2)(1＋m)·n>(1＋n)·m． 证明：(1)对于1<i≤m，有 ＝m(m-1)…(m-i＋1), =··…·， 同理=··…·． 由于m<n，对整数k＝1，2，…，i-1， 有>，所以>，即mi·>ni·． (2)由二项式定理，有 (1＋m)n=1＋·m＋…＋mi＋…＋·mn． (1＋n)m=1＋·n＋…＋ni＋…＋·nm． 由(1)知优(1<i≤m<n)， 而=，=，∴mi·>ni·(1<i≤m<n)． 又1＋=1＋·n，∴(1＋m)n>(1＋n)m．