Question

已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．
（1）证明nⁱP_mⁱ＜mⁱP_nⁱ；
（2）证明（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer 1

分析：（1）先将要证的不等式变形为分别含m，n的式子，再利用排列数公式，据不等式的性质得证
（2）利用二项式定理再利用（1）的结论和排列数和组合数的关系得证．

解答：证明：（1）对于1＜i≤m有p_mⁱ=m••（m-i+1），

p i m

mi

=

m

m

•

m-1

m

•

m-i+1

m

，
同理

p i n

ni

=

n

n

•

n-1

n

••

n-i+1

n

，
由于m＜n，对整数k=1，2，i-1，有

n-k

n

＞

m-k

m

，
所以

p i n

ni

＞

p i m

mi

，即mⁱp_nⁱ＞nⁱp_mⁱ．
（2）由二项式定理有(1+m)n=

n

i=0

mi

C

i n

，
(1+n)m=

m

i=0

ni

C

i m

，
由（1）知mⁱp_nⁱ＞nⁱp_mⁱ（1＜i≤m＜n），
而

C

i m

=

p i m

i!

，

C

i n

=

p i n

i!

，
所以，mⁱC_nⁱ＞nⁱC_mⁱ（1＜i≤m＜n）．
因此，

m

i=2

mi

C

i n

＞

m

i=2

ni

C

i m

．
又m⁰C_n⁰=n⁰C_m⁰=1，mC_n¹=nC_m¹=mn，mⁱC_nⁱ＞0（1＜i≤m＜n）．
∴

n

i=0

mi

C

i n

＞

m

i=0

ni

C

i m

．
即（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

点评：本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．