Question

如图，过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为Q₁，设Q₁点在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影是P₂；…；依此下去，得到一系列点Q₁，Q₂，…，Q_n，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式a_n；（用k的代数式表示）
（Ⅱ）求证：an≥1+

n

k-1

；
（Ⅲ）求证：

n

i=1

i

ai

＜k2-k（注：

n

i=1

ai=a1+a2+…+an）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由曲线C：y=x^k，求导得切线斜率，切点Q_n的坐标（a_n，a_n^k），得切线方程，切线过点P_n-1（a_n-1，0），代入方程，得关于数列{a_n}项的关系式，变形得出数列{a_n}为等比数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把每一项的分子用错位相减法都化为1，然后用等比数列的前n项和求解．
（Ⅲ）先求出

i

ai

的表达式，进而求得其前n项和的表达式，利用错位相减法即可证明

1

k

Sn＜k-1，进而可以证明

n

i=1

i

ai

＜k2-k．

解答：解：（Ⅰ）∵y=x^k
∴y'=kx^k-1，若切点是Q_n（a_n，a_n^k），
则切线方程为y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．
当n=1时，切线过点P（1，0），即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），得a1=

k

k-1

当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），解得

an

an-1

=

k

k-1

．
∴数列{a_n}是首项为

k

k-1

，公比为

k

k-1

的等比数列，
故所求通项an=(

k

k-1

)n，n∈N*．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知．
∴an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=C_n⁰+C_n¹

1

k-1

+C_n²(

1

k-1

)2+…+C_nⁿ(

1

k-1

)n≥C_n⁰+C_n¹

1

k-1

=1+

n

k-1

；
（Ⅲ）设Sn=

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

+

n

an

，
则

k-1

k

Sn=

1

a2

+

2

a3

+…+

n-1

an

+

n

an+1

，
两式相减得（1-

k-1

k

）Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

-

n

an+1

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

；
∴

1

k

Sn＜

k-1 k [1-( k-1 k )n]

1- k-1 k

＜k-1，
故S_n＜k²-k．（14分）

点评：本题主要考查数列、导数、不等式和数学归纳法等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及逻辑推理、抽象概括能力，运算求解能力和创新意识，此题有点难度，是各地高考的热点，需要同学们掌握．