题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F，y轴右侧的点A在椭圆E上运动，直线MA与圆C：x2+y2=b2相切于点M（x0，y0）．
（1）求直线MA的方程；
（2）求证：|AF|+|AM|为定值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由直线MA与OM垂直，得直线MA的斜率kMA=-
x0
y0
，由此能求出直线MA的方程．
（2）|AM|=
OA2-OM2
=
x2+y2-b2
=
x2-(
b
a
)2x2
=
cx
a
，|AF|=
(x-c)2+y2
=a-
c
a
x，由此能证明|AM|+|AF|=
cx
a
+a-
cx
a
=a为定值．
解答： （1）解：∵直线MA与圆C：x2+y2=b2相切于点M（x0，y0），
∴直线MA与OM垂直，
∵kOM=
y0
x0
，∴直线MA的斜率kMA=-
x0
y0
，
∴直线MA的方程：y-y0=-
x0
y0
（x-x0），
整理，得x0x+y0y=b2．
（2）|AM|=
OA2-OM2
=
x2+y2-b2
=
x2-(
b
a
)2x2
=
cx
a
，
|AF|=
(x-c)2+y2
=
(x-c)2+b2-(
b
a
)2x2

=
x2-2cx+c2+b2-(
b
a
)2x2

=
x2-2cx+a2-(
b
a
)2x2

=
(
c
a
)2x2-2cx+a2
=
c
a
|x-
a2
c
|=a-
c
a
x，
∴|AM|+|AF|=
cx
a
+a-
cx
a
=a．
∴AF|+|AM|为定值a．
点评：本题考查直线方程的求法，考查两线段和为定值的证明，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
练习册系列答案
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某中学对高二甲、乙两个同类班级进行加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率作用的试验，其中甲班为实验班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用试题测试的平均成绩（均取整数）如表所示：
60分以下61-70分71-80分81-90分91-100分
甲班（人数）36111812
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现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀．
（1）试分析估计两个班级的优秀率；
（2）由以上统计列出2×2列联表．
如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，
15
4
）．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求
sin(α+
π
4
)
sin(π+2α)-sin(
3π
2
-2α)+1
的值．
若椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e为
3
5
，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
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设函数f（x）=x3-
1
2
x2-2x-
2
3
．
（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
已知椭圆的中心在原点，两个焦点分别为F1（0，-2
2
），F2（0，2
2
），离心率e=
2
2
3

（1）求椭圆方程；
（2）斜率为-9的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为-
1
2
，求直线l方程．
某厂生产新产品需一种新零件，可外购也可自产，如果外购每个价格为1.10元，如果自产固定成本将增加800元，并且生产这种零件的每个材料费和劳力费等支出合计0.06元，试决定该厂自产还是外购这种零件？
若对于?x∈R使得丨x-2a丨+x＞3恒成立，求a的取值范围．
化简：
AB
-
AC
-
DB
=
 
．

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