Question

已知球O的半径为，点A为球面上的点，过A作球O的截面圆O₁，设圆O₁的周长为x，球心O到截面圆O₁的距离为y，当xy的值最大时，圆O₁的面积是________．

Answer 1

6π
分析：在小圆O₁中，设过A的直径为AB，连接OA、OO₁，设圆O₁的半径为r，根据圆周长公式和球的截面圆性质建立关于x、y、r的方程组，消去r得+y²=12，再结合基本不等式可得当y=时，xy有最大值12π，由此算出r=，即得圆O₁的面积．
解答：在小圆O₁中，设过A的直径为AB，连接OA、OO₁，
设圆O₁的半径为r，得：，
消去r，得+y²=12
∵+y²≥2••y=
∴≤12，得xy≤12π．当且仅当=y²，即y=时，xy有最大值12π
此时圆O₁的半径r==，得圆O₁的面积是=6π
故答案为：6π
点评：本题给出球的半径R，求经过某点满足特殊条件的球小圆的面积，着重考查了球的截面圆性质和基本不等式等知识，属于基础题．