Question

已知球O 的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为

π

2

，求球心O 到平面ABC的距离．

Answer 1

分析：根据题意可知：球心O与A，B，C三点构成正三棱锥O-ABC，且OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠BOC=∠AOC=90°，故AO⊥面BOC．所以此题可以根据体积法求得球心O到平面ABC的距离

解答：解：球心O与A，B，C三点构成正三棱锥O-ABC，如图所示，
已知OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠BOC=∠AOC=90°，
由此可得AO⊥面BOC．
∵S△BOC=

1

2

，S△ABC=

3

2

．
∴由V_A-BOC=V_O-ABC，得 h=

3

3

．
所以球心O 到平面ABC的距离

3

3

．

点评：本题考查球的内接几何体问题，球心与平面的距离关系，考查空间想象能力，是中档题．