题目内容
16．已知直线l：y=x+2与圆x2+y2=6相交的弦长为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长，且椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，若抛物线C：y2=2px的焦点与椭圆的焦点重合．（1）求该椭圆的方程和抛物线的方程
（2）．若过抛物线C的焦点且与直线l平行的直线交抛物线于M，N两点，点P为直线l上的动点，试求$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$的最小值．
分析 （1）圆心到直线的距离为d=$\sqrt{2}$，弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，可知2a=4，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b2=a2-c2，联立解出即可得出
（2）过焦点F的直线为y=x-1，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，x0+2）．直线方程与椭圆方程联立化为：x2-6x+1=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得：$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=$2{x}_{0}^{2}$-6x0-7，再利用二次函数的单调性即可得出．
解答 解：（1）圆心到直线的距离为d=$\frac{|0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，r=$\sqrt{6}$．
弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{6-2}$=4，可知2a=4，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b2=a2-c2，
联立解得a=2，c=1，b2=3．
所求的椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，焦点为F（1，0），
∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
∴抛物线的方程为：y2=4x．
（2）过焦点F的直线为y=x-1，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，x0+2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，化为：x2-6x+1=0，
∴x1+x2=6，x1•x2=1，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（x1-x0，y1-x0-2）•（x2-x0，y2-x0-2）=（x1-x0）（x2-x0）+（y1-x0-2）（y2-x0-2）
=x1x2-（x1+x2）x0+${x}_{0}^{2}$+y1y2-（x0+2）（y1+y2）+$（{x}_{0}+2）^{2}$
=1-6x0+${x}_{0}^{2}$-4-4（x0+2）+$（{x}_{0}+2）^{2}$
=$2{x}_{0}^{2}$-6x0-7
=2$（{x}_{0}-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{23}{2}$，
∴x0=$\frac{3}{2}$时，最小值为-$\frac{23}{2}$．
点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
黄冈冠军课课练系列答案
如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=∠A1AC=60°，平面AA1CC1⊥平面ABCD．
已知函数f（x）=$\frac{A}{2}$sin（ωx+ϕ）在一个周期内的图象如图，则函数f（x）的解析式为y=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）．| A． | 向右平移$\frac{π}{6}$，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$ | |
| B． | 向右平移$\frac{π}{6}$，横坐标伸长为原来的2倍 | |
| C． | 向右平移$\frac{π}{3}$，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$ | |
| D． | 向右平移$\frac{π}{3}$，横坐标伸长为原来的2倍 |