Question

已知函数，.

(I)求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时，函数恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅲ)设正实数满足，求证：．

 

Answer 1

【答案】

当时，只有单调递增区间;当时，单调递增区间为，,单调递减区间为.;详见解析.

【解析】

试题分析：先求出的导数，讨论，利用导数的正负与函数单调性得关系求出单调区间；当x>1时，函数f(x)>g(x)恒成立转化为>0恒成立.结合第问讨论的单调区间得出的范围；结合第问，令，，所以，再利用柯西不等式，，其中由条件.最后得证.

试题解析：（Ⅰ）易知,定义域是.

                                 1分

由的判别式

①当即时，恒成立，则在单调递增     2分

②当时，在恒成立，则在单调递增       3分

③当时，方程的两正根为

则在单调递增，单调递减，单调递增

综上，当时，只有单调递增区间

当时，单调递增区间为，

单调递减区间为    5分

（Ⅱ）即时，恒成立

当时，在单调递增  ∴当时，满足条件  7分

当时，在单调递减

则在单调递减

此时不满足条件

故实数的取值范围为                                          9分

（Ⅲ）由（2）知，在恒成立

令 则          10分

∴                    11分

又

其中

∴                           13分

∴                                             14分

考点：1.函数的求导；2.利用导数求函数单调性；3.柯西不等式.