Question

（08年唐山市一中调研一理）  已知数列{a_n}，前n项和S _n，a₁=2，且na_n+1=S_n+n(n+1)

  

   （I）求数列{a_n}的通项公式；

   （II）设T_n=，①试比较T_n与T_n+1的大小，

②若对一切正整数n，T_n恒成立，求m的取值范围.

Answer 1

解析：（I）由已知a₂=S₁+2=4

当n2时，na_n+1－(n－1)a_n=a_n+n(n+1)－n(n－1)

整理得a_n+1－a_n=2，而a₂－a₁=2，

因而数列{a_n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a_n=2n

   （II）①

所以，当n=1时，则T₂>T₁；当n=2时，则T₃=T₂；

当n3时，则T_n+1<T_n

②由①，T_n的最大值为T₃=T₂=，因而m.