Question

（2008•上海模拟）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，，满足f（a•b）=af（b）+bf（a），f(2)=2，an=

f(2n)

n

(n∈N*)，bn=

f(2n)

2n

(n∈N*)
考查下列结论：
（1）f（0）=f（1）；
（2）f（x）为偶函数；
（3）数列{a_n}为等比数列；
（4）

lim

n→∞

(1+

1

bn

)bn=e．
其中正确的是

①③④

．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，可得f（0）=f（0•0）=0，令x=y=1，可得f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，可知正确；
（2）用特例，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），故f（x）不是偶函数，
（3）把第三个条件两边同乘n化为整式形式，用第一个式子逐渐展开，得到等比数列，通过第二步整理，可得第三个结论正确．
（4）b_n=n，利用极限的定义可求

解答：解：对于（1），∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，故（1）正确；
对于（2），∵f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函数，故（2）错；
对于（3），f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，
∴b_n=n，，∴f（2ⁿ）=n×2ⁿ，∴a_n=2ⁿ
故数列{a_n}是等比数列，故（3）正确；
对于（4），b_n=n，

lim

n→∞

(1+

1

bn

)bn=

lim

n→∞

(1+

1

n

)n=e，故（4）正确．

点评：本题的考点是数列与函数的综合．考查了数列与函数的综合运用，主要涉及了函数的赋值法，等比数列的定义及通项公式的计算等知识．这种题做起来易出错，使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题