Question

设，且α，β满足
（1）求的值．
（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

解：（1）∵5sinα+5cosα=8，
∴10（sinα+cosα）=8，即sin（α+）=，（3分）
∵α∈（0，），∴α+∈（，），
∴cos（α+）==；（4分）
（2）又∵sinβ+cosβ=2，
∴2（sinβ+cosβ）=2，即sin（β+）=，（6分）
∵β∈（，），∴β+∈（，），
∴cos（β+）=-，（7分）
∴cos（α+β）=sin[+（α+β）]=sin[（α+）+（β+）]
=sin（α+）cos（β+）+cos（α+）sin（β+）
=×（-）+×=-．（12分）
分析：（1）将等式5sinα+5cosα=8左边提取10，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin（α+）的值，由α的范围求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出cos（α+）的值；
（2）等式sinβ+cosβ=2左边提取2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin（β+）的值，由β的范围求出β+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（β+）的值，将所求式子利用诱导公式sin（+θ）=cosθ变形，其中的角+α+β变形为（α+）+（β+），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，在求值题中，这是一个重要的经验！