Question

【题目】在如图所示的三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，是的中位线，为线段的中点.

（1）证明：.

（2）若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）如图，由中位线可得，取的中点为，取的中点，连接，可证平面，从而可证.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面的法向量和平面的法向量的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值.

（1）如图，取的中点为，取的中点，连接.

因为是边长为2的等边三角形，，所以.

因为，故，故.

因为，所以且，所以.

因为，故，所以.

因为，平面,平面，故平面，

因为平面，.

因为，故，所以.

（2）由（1）可得，

所以为二面角的平面角，

因为二面角为直二面角，所以即.

建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

故，，.

设平面的法向量为，

则即，故，取，则，

所以.

设平面的法向量为，

则即，取，则，

故，

所以，

因为二面角的平面角为锐角，

故二面角的余弦值为.