Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若在处取极值，求在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若有唯一的零点，求证：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：

本题考查导数的几何意义及导数在研究函数单调性、极值中的应用。（Ⅰ）根据函数在处取极值可得，然后根据导数的几何意义求得切线方程即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，令，可得在上单调递减，在上单调递增。结合函数的单调性和函数值可得在上有唯一零点，设为，证明即可得结论。

试题解析：

（Ⅰ）∵，

，

∵在处取极值，

∴，解得.

,

,

又.

∴在点处的切线方程为,

即

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

令，

则

由，可得

在上单调递减，在上单调递增。

又，故当时， ；

又，故在上有唯一零点，设为，

从而可知在上单调递减，在上单调递增，

因为有唯一零点，

故且