Question

【题目】如图，已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个焦点为， 是椭圆上的一个点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的上、下顶点分别为， （）是椭圆上异于的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段中点，直线交直线于点, 为线段的中点，如果的面积为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：(1)设椭圆方程为,由题意,得,再由是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;

(2)根据题意,求出直线AB的方程、点M,C,N的坐标,计算,可得,再利用,结合椭圆方程,求解可得结果.

试题解析：（1）设椭圆方程为，由题意，得． 因为，所以．又是椭圆上的一个点，所以，解得或（舍去），从而椭圆的标准方程为．

（2）因为， ，则，且．因为为线段中点， 所以．又，所以直线的方程为．因为令，得． 又， 为线段的中点，有．

所以．

因此，

=．从而．

因为， ，

所以在中， ，因此．从而有，解得．

点晴：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算．