Question

已知a∈{x|(

1

2

)x-x=0}，则f(x)=a(x2-2x-3)的增区间为

 

．

Answer 1

分析：由条件利用函数零点的判定定理可得 0＜a＜1，令t=x²-2x-3=（x-1）²-4，则 f（x）=a^t，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t的减区间．

解答：解：∵已知a∈{x|(

1

2

)x-x=0}={x|f（x）=(

1

2

)x-x=0}，f（0）=1＞0，f（1）=-

1

2

＜0，
故函数f（x）的零点在（0，1）上，
∴0＜a＜1．
令t=x²-2x-3=（x-1）²-4，
则 f（x）=a^t，本题即求函数t的减区间．
再利用二次函数的性质可得，函数t的减区间（-∞，1]，
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，函数零点的判定定理，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．