题目内容
在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2）
（Ⅰ）证明：
是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项；
（Ⅲ）若
对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
解：（Ⅰ）将3anan-1+an-an-1=0（n≥2）整理得：
，
所以是以1为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
，所以
．
（Ⅲ）若恒成立，即
恒成立，整理得：
．
令
，
则可得
．
因为n≥2，所以
＞0，即{cn}为单调递增数列，所以c2最小，
，
所以λ的取值范围为
．
分析：（Ⅰ）将已知条件整理得：，由此求得是以1为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，由此求得数列{an}的通项．
（Ⅲ）由条件可得，利用数列的单调性可得{cn}为单调递增数列，所以c2最小，，
由此求得λ的取值范围．
点评：本题主要考查等差关系的确定，数列的递推式的应用，数列与不等式的综合，属于难题．
，所以
是以1为首项，3为公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
，所以．（Ⅲ）若
恒成立，即恒成立，整理得：． 令
，则可得
．因为n≥2，所以
＞0，即{cn}为单调递增数列，所以c2最小，，所以λ的取值范围为
．分析：（Ⅰ）将已知条件整理得：
，由此求得是以1为首项，3为公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
，由此求得数列{an}的通项．（Ⅲ）由条件可得
，利用数列的单调性可得{cn}为单调递增数列，所以c2最小，，由此求得λ的取值范围．
点评：本题主要考查等差关系的确定，数列的递推式的应用，数列与不等式的综合，属于难题．
练习册系列答案
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，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．