Question

 如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC₁上．设二面角A₁-DN-M的大小为θ（1）当θ=90° 时，求AM 的长；
（2）当 时，求CM 的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D-xyz，设CM=t（0≤t≤2），通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A₁DN的法向量为，推出（1）利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM的长．
（2）利用cos=以及，求出CM 的长．
解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，D-xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为A（1，0，0），A₁（1，0，2），
N（，1，0），M（0，1，t）；
所以=（，1，0）.=（1，0，2），=（0，1，t）
设平面DMN的法向量为=（x₁，y₁，z₁），则，，
即x₁+2y₁=0，y₁+tz₁=0，令z₁=1，则y₁=-t，x₁=2t所以=（2t，-t，1），
设平面A₁DN的法向量为=（x₂，y₂，z₂），则，，
即x₂+2z₂=0，x₂+2y₂=0，令z₂=1则y₂=1，x₂=-2所以=（-2，1，1），

（1）因为θ=90°，所以 解得t=从而M（0，1，），
所以AM=
（2）因为，所以，
cos==
因为=θ或π-θ，所以=解得t=0或t=
根据图形和（1）的结论，可知t=，从而CM的长为．

点评：本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．