Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，.

（1）求证：平面；

（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

）（1）利用平面可证得，利用三线合一可证得，进而得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．

解：（1）证明：∵四边形是菱形，∴，

∵，，平面，平面，

∴平面，

平面，

∴，

又∵，是的中点，∴，

又∵，平面，平面，

∴平面.

（2）∵，

∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.

∵平面，∴直线与平面所成的角即为，

即.

不妨设菱形的边长为2，则在等边三角形中，，

在中，，

以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，可得，

而平面的一个法向量为，

则，

∴二面角的余弦值的大小为.