题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析：（1）由题设条件知b1=a2-2a1=3．由Sn+1=4an+2和Sn=4an-1+2相减得an+1=4an-4an-1，即an+1-2an=2（an-2an-1），所以bn=2bn-1，由此可知{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．
（2）由题设知
-
=
．所以数列{
}是首项为
，公差为
的等差数列．由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由题设知
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
| 3 |
| 4 |
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
解答：解：（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2，
得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2-2a1=3．
由Sn+1=4an+2，①
则当n≥2时，有Sn=4an-1+2，②
①-②得an+1=4an-4an-1，所以an+1-2an=2（an-2an-1），
又bn=an+1-2an，所以bn=2bn-1，所以{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（I）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，等式两边同时除以2n+1，得
-
=
．
所以数列{
}是首项为
，公差为
的等差数列．
所以
=
+(n-1)
=
n-
，即an=（3n-1）•2n-2（n∈N*）．（13分）
得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2-2a1=3．
由Sn+1=4an+2，①
则当n≥2时，有Sn=4an-1+2，②
①-②得an+1=4an-4an-1，所以an+1-2an=2（an-2an-1），
又bn=an+1-2an，所以bn=2bn-1，所以{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（I）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，等式两边同时除以2n+1，得
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
| 3 |
| 4 |
所以数列{
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
所以
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．
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