Question

（19）如图，P是边长为1的正六边形ABCDDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明PA⊥BF：

（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。

Answer 1

本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查思维能力和空间想象能力；考查应用向量知识解决立体几何问题的能力.

方法一

连结,则易知与的交点为

 

(Ⅰ)证法1：

又平面ABC，

由三垂线定理得.

证法2：

平面

平面

.

（Ⅱ）解：设为的中点，连结

在中

斜线在平面内的射影为

由三垂线定理得

又平面

平面

因此，为所求二面角的平面角.

在正六边形中，

在Rt中，

在Rt中，则

在中，由余弦定理得

因此，所求二面角的大小为

方法二

由题设条件，以为原点建立空间直角坐标系，如图.由正六边形的性质，可得

在Rt中，

故因而有

（Ⅰ）证明：因

故所以

（Ⅱ）解：设为的中点，连结，则点的坐标为

因此，为所求二面角的平面角.

因此，所求二面角的大小为