Question

【题目】某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为，，其中为常数且．设对乙种产品投入资金百万元．

（Ⅰ）当时，如何进行投资才能使得总收益最大；（总收益）

（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）当时求出总收益的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．

（Ⅱ）根据题意可知对任意恒成立，将问题转化为即对任意恒成立，再利用换元法转化为一元二次不等式恒成立求解．

（Ⅰ）设对乙种产品投入资金百万元，则对甲种产品投入资金百万元

当时，，

令，则，

，其图象的对称轴，

∴当时，总收益有最大值，此时，．

即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大

（Ⅱ）由题意知对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，

设，则，

则，其图象的对称轴为，

①当，即时，在单调递增，在单调递减，

且，

∴，得，又，

∴，

②当，即时，在单调递增，在单调递减，

且，可得，符合题意，

∴

③当，即时，易知在单调递增，

可得恒成立，，

综上可得．

∴实数的取值范围是．