Question

【题目】椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上任一点， 为其右焦点， 是椭圆的左、右顶点，点满足.

①证明： 为定值；

②设是直线上的任一点，直线分别另交椭圆于两点，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①.证明见解析；②.3.

【解析】试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程，与离心率联立方程组解得a.b,（2）①根据两点间距离公式，代入椭圆方程化简可得，再求比值即可，②先设，根据点斜式可得直线， 方程，分别与椭圆方程联立解得两点坐标，再根据焦半径公式可得，最后根据基本不等式求最小值.

试题解析：（1）由得，

把点代入椭圆方程为，∴得，

∴，椭圆的标准方程为；

（2）由（1）知，

，

而，∴为定值；

②设若，则，

若，因为，

直线，直线，

由整理得，

∴，得，

由整理得，

∴，得，

由①知，

∴，

∵（当且仅当即时取等号）

∴，即的最小值为3.