Question

已知函数f(x)＝(ax²＋bx＋c)e^x且f(0)＝1，f(1)＝0.
(1)若f(x)在区间[0,1]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)当a＝0时，是否存在实数m使不等式2f(x)＋4xe^x≥mx＋1≥－x²＋4x＋1对任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）[0,1]（2）存在m＝4，

∵f(0)＝1，∴f(0)＝c·e⁰＝c＝1，
又f(1)＝(a＋b＋1)·e¹＝0，∴a＋b＋1＝0，
∴b＝－1－a，∴f(x)＝[ax²－(1＋a)x＋1]·e^x.
∴f′(x)＝[ax²＋(a－1)x－a]e^x.
(1)∵函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，∴对任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0，即对任意x∈[0,1]，有ax²＋(a－1)x－a≤0，令g(x)＝ax²＋(a－1)x－a.当a>0时，因为二次函数g(x)＝ax²＋(a－1)x－a的图象开口向上，而g(0)＝－a<0，所以需g(1)＝a－1≤0，即0<a≤1，当a＝0时，对任意x∈[0,1]，g(x)＝－x≤0成立，符合条件，当a<0时，因为g(0)＝－a>0，不符合条件．
故a的取值范围是[0,1]．
(2)当a＝0时，f(x)＝(1－x)e^x，假设存在实数m，使不等式2f(x)＋4xe^x≥mx＋1≥－x²＋4x＋1对任意x∈R恒成立．
由mx＋1≥－x²＋4x＋1，得x²＋(m－4)x≥0对x∈R恒成立．
∴Δ＝(m－4)²≤0，∴m＝4.
下面证明：当m＝4时，2f(x)＋4xe^x≥mx＋1对x∈R恒成立．
即(2x＋2)e^x－4x－1≥0，对x∈R恒成立．
令g(x)＝(2x＋2)e^x－4x－1，g′(x)＝(2x＋4)e^x－4
∵g′(0)＝0.
当x>0时，(2x＋4)>4，e^x>1，∴(2x＋4)e^x>4，g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当x<0时，(2x＋4)<4,0<e^x<1，
∴(2x＋4)e^x<4e^x<4，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，0)上单调递减．
∴g(x)_min＝g(0)＝2－1＝1>0，
∴g(x)>0，即(2x＋2)e^x>4x＋1对x∈R恒成立，
∴存在m＝4，使2f(x)＋4xe^x≥mx＋1≥－x²＋4x＋1对任意x∈R恒成立