Question

已知函数f(x)＝，x∈(1，＋∞)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)函数f(x)在区间[2，＋∞)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）a≤1时，f(x)的减区间为(1，＋∞)；a>1时，f(x)的增区间为(1,2a－1)，f(x)的减区间为(2a－1，＋∞)．（2）当a≥2时，f(x)有最小值2－a；当a<2时，f(x)没有最小值．

(1)f′(x)＝，x∈(1，＋∞)．
由f′(x)＝0，得x₁＝1，或x₂＝2a－1.
①当2a－1≤1，即a≤1时，在(1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；
②当2a－1>1，即a>1时，在(1,2a－1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(2a－1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上所述，a≤1时，f(x)的减区间为(1，＋∞)；a>1时，f(x)的增区间为(1,2a－1)，f(x)的减区间为(2a－1，＋∞)．
(2)①当a≤1时，由(1)知f(x)在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；
②当a>1时，若2a－1≤2，即a≤时，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；
若2a－1>2，即a> 时，f(x)在[2,2a－1)上单调递增，在(2a－1，＋∞)上单调递减，因为f(2a－1)＝>0，且当x>2a－1时，x－a>a－1>0，所以当x≥2a－1时，f(x)>0.又因为f(2)＝2－a，所以当2－a≤0，即a≥2时，f(x)有最小值2－a；当2－a>0，即<a<2时，f(x)没有最小值．
综上所述：当a≥2时，f(x)有最小值2－a；当a<2时，f(x)没有最小值．