Question

【题目】

已知函数是定义在上的奇函数，且．

（1）求实数的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义证明；

（3）解不等式： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（1）根据定义域在上的奇函数可得即可求解实数的值；(2)直接利用定义法证明单调性；（3）利用函数的单调性和奇偶性即求解不等式.

试题解析：（1）由题意可知，解得

（2）由（1）

函数在上为增函数，

证明：在上任取，且，

∵，∴，∴， ，

∴，即，

函数 在上为增函数．

（3）原不等式，

∵是定义在上的奇函数，∴

由对数的性质

又∵是上的增函数，

∴，

解得，∴.

【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不等掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.