Question

【题目】设函数.

（1）当时，求函数的单调减区间；

（2）若有三个不同的零点，求的取值范围；

（3）设，若无极大值点，有唯一的一个极小值点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增； （2）或；

（3）见解析

【解析】

（1）求函数导数，由得增区间，由得减区间；

（2）设，则，则或或，讨论和0的大小关系，由的单调性及最值，分析时是否有三个根即可；

（3）由题意可知，令，即在内有唯一的一个正根，由求根公式得方程两个根，因为只能有一个正跟，从而得，所以，由，得，代入，求导利用单调性即可证得.

（1）当时，，

.

当时，；当时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）设，则，则或或，

.

当时，恒成立，∴在上为增函数，且时，；时，，则的零点有3个，符合题意.

当时，，此时只有一个零点，不合题意.

当时，若，则；若时，，

函数在上单调递减，在上单调递增.

又且时，；时，，

所以或或要有三个零点，则

即，所以

综上所述，或.

（3）

.

因为在无极大值点，有唯一的一个极小值点

即，即在内有唯一的一个正根.

所以，即

又，，

又因为只有唯一的一个正根，所以即.

当时，在上单调递减，在上单调递增.

此时无极大值，有唯一一个极小值点，

所以，所以

所以

所以

.

所以在上单调递减，所以

综上，.