Question

已知向量

a

=(

1

2

cosx，

3

sinx)，

b

=(4cosx，2cosx)，函数f(x)=

a

•

b

+k(k∈R)
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，π]时，f（x）的最大值为4，求k的值．

Answer 1

由

a

=(

1

2

cosx，

3

sinx)，

b

=(4cosx，2cosx)，
f(x)=

a

•

b

+k=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x+k=2sin（2x+

π

6

）+1+k．
（Ⅰ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
从而可得函数的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）由x∈[0，π]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]，
故sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
f（x）的最大值为4，所以1+1+k=4，
所以k=2．