Question

【题目】如图，在多边形ABPCD中（图1），四边形ABCD为长方形，为正三角形，，，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上（图2）.

（1）证明：平面平面PAB；

（2）若点E在线段PB上，且，当点Q在线段AD上运动时，求点Q到平面EBC的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）过点作，垂足为O，由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上，可得PO⊥平面ABCD，进一步得到AB⊥AD，由线面垂直的判定可得AB⊥PD，通过计算PA，PD，AD，可得，从而得，则平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；

（2）利用等积法即可求出点到底面的距离．

(1)证明：过点作，垂足为O.

由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上，

∴平面ABCD，∴，

∵四边形ABCD为矩形，∴，

又，∴平面PAD，

∴，，

又由，，可得，同理，

又，∴，

∴，且，

∴平面PAB

又因为平面PCD

所以平面平面PAB

(2)设点E到底面QBC的距离为h，所以点Q到平面EBC的距离为d

则，

由，可知，

∴，∵，且，

∴，∴，

又，，

∴.

所以点Q到平面EBC的距离为.