Question

若函数，非零向量，我们称为函数的“相伴向量”，为向量的“相伴函数”.
（1）已知函数的最小正周期为，求函数的“相伴向量”；
（2）记向量的“相伴函数”为，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数，若，求的值；
（3）对于函数，是否存在“相伴向量”？若存在，求出“相伴向量”；
若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）（1，1）；（2） ；（3）不存在“相伴向量”

试题分析：（1）由函数平方项展开化简，再通过化一公式即可得一个函数的形式，又因为最小正周期为，即可求得的值.再将函数展开写成的形式及可得结论.
（2）由向量为函数的“相伴向量”，所以可得到函数.再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数.再根据.通过解三角方程即可得到所求的结论.
（3）对于函数，是否存在“相伴向量”.通过反证法的思想，可证明不存在函数的“相伴向量”.
（1）


，                          1分
依题意得，故．                           2分
∴，即的“相伴向量”为（1，1）．　　        3分
（2）依题意，，            4分
将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数，                        5分
再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，
即，                            6分
∵，∴，
∵，∴，∴，               8分
∴.         10分
（3）若函数存在“相伴向量”，
则存在，使得对任意的都成立，     11分
令，得，
因此，即或，
显然上式对任意的不都成立，
所以函数不存在“相伴向量”．                 13分
(注：本题若化成，直接说明不存在的，给1分)