Question

若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_n•a_n+1•a_n+2（n∈N^*），{b_n}的前n项和用S_n表示，若{a_n}满足3a₅=8a₁₂＞0，则当n等于

16

时，S_n取得最大值．

Answer 1

分析：由3a₅=8a₁₂＞0，知3a₅=8（a₅+7d），a₅=-

56d

5

＞0，所以d＜0．由a₁₆=a₅+11d=-d5＞0，a₁₇=a₅+12d=

4d

5

＜0，知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，由此能够推导出S_n中S₁₆最大．

解答：解：∵3a₅=8a₁₂＞0，
∴3a₅=8（a₅+7d），即a₅=-

56d

5

＞0，
∴d＜0，又a₁₆=a₅+11d=-

d

5

＞0，a₁₇=a₅+12d=

4d

5

＜0，
∴a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，
∵b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，
∴a₁₅=a₅+10d=-

6d

5

＞0，a₁₈=a₅+13d=

9d

5

＜0，
∴a₁₅＜-a₁₈，
∴b₁₅＞-b₁₆，b₁₅+b₁₆＞0，
∴S₁₆＞S₁₄，
则n=16时，S_n取得最大值为S₁₆．
故答案为：16

点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意数列综合知识的合理运用，恰当地进行等价转化．