Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1（a＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆C上的一点，

AF2

•

F1F2

=0，坐标原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF₁|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，N（-1，0），连接QN的直线交y轴于点M，若|

MQ

|=2|

QN

|，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设知F₁（-

a2-2

，0），F₂（

a2-2

，0），其中a＞

2

，由

AF2

•

F1F2

=0，得点A（

a2-2

，±

2

a

），由此利用直线方程、点到直线距离公式结合已知条件能求出椭圆的方程．
（2）设直线斜率为k，直线l的方程为y=k（x+1），设Q（x₁，y₁），根据题意得（x1，

y

1

-k）=±2（x₁+1，y₁），由此能求出直线l的斜率．

解答： 解：（1）由题设知F₁（-

a2-2

，0），F₂（

a2-2

，0），其中a＞

2

，
由于

AF2

•

F1F2

=0，则有

AF2

⊥

F1F2

，…（1分）
所以点A的坐标为（

a2-2

，±

2

a

），…（2分）
故AF₁所在直线方程为y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)．…（3分）
所以坐标原点O到直线AF₁的距离为

a2-2

a2-1

，…（4分）
又|OF₁|=

a2-2

，所以

a2-2

a2-1

=

1

3

a2-2

，解得：a=2．…（5分）
所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．…（6分）
（2）由题意可知直线l的斜率存在，
设直线斜率为k，直线l的方程为y=k（x+1），
则有M（0，k），设Q（x₁，y₁），由于Q、N、M三点共线，且|

MQ

|=2|

QN

|…（8分）
根据题意得（x1，

y

1

-k）=±2（x₁+1，y₁），…（9分）
解得

x1=-2 y1=-k

，或

x1=- 2 3 y1= k 3

，…（11分）
又Q在椭圆C上，故

4

4

+

(-k)2

2

=1或

4 9

4

+

( k 3 )2

2

=1，…（12分）
解得k=0或k=±4．
综上，直线l的斜率为0或±4．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．