Question

根据下列条件写出抛物线的标准方程

(1) 经过点P(-2，-4) ；
(2) 焦点为直线3x-4y-12=0 与坐标轴的交点

Answer 1

解：(1)因为点P在第三象限，
所以满足条件的抛物线（如图）的标准方程可以是y²=-2p₁x(p₁>0)或x²=-2p₂y(p₂>0)，
解得p₁=4，p₂=    
因此，满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y²= -8x和x²=-y.    
(2)对于直线方程3x-4y-12=0，
令x=0，得y=-3;令y=0，得x=4，    
∴抛物线的焦点为（0，-3）或(4，0).
当焦点为（0，-3）时，，
∴p=6，此时抛物线的标准方程为x²=-12y；
当焦点为(4，0)时，，
∴p=8，此时抛物线的标准方程为y²=16x，    
∴满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x²=-12y和y²=16x．