Question

（2008•上海模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1    (a＞b＞0)
（1）已知椭圆的长轴是焦距的2倍，右焦点坐标为F（1，0），写出椭圆C的方程；
（2）设K是（1）中所的椭圆上的动点，点O是坐标原点，求线段KO的中点B的轨迹方程；
（3）设点P是（1）中椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，K_PN试探究k_PM•K_PN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）2a=2（2c），c=1，a²=4b²=3，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设KO的中点为B（x，y），则点K（2x，2y），把K的坐标代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中，得

(2x)2

4

+

(2y)2

3

=1．由此能求出线段KF₁的中点B的轨迹方程．
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，设M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）．M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，由此能够证明k_PM•K_PN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关．

解答：解：（1）2a=2（2c），（1分）
c=1，（2分）
a²=4b²=3，（3分）
椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（2）设KO的中点为B（x，y）则点K（2x，2y），（6分）
把K的坐标代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中，
得

(2x)2

4

+

(2y)2

3

=1（8分）
线段KF₁的中点B的轨迹方程为x2+

y2

3 4

=1．（10分）
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）（11分）
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，
得

x02

4

+

y02

3

=1    ，

x2

4

+

y2

3

=1，（12分）
kPM=

y-y0

x-x0

      KPN=

y+y0

x+x0

，（13分）
k_PM•K_PN=

y-y0

x-x0

 •

y+y0

x+x0

 =

y2-y02

x2-x02

=-

3

4

．（15分）
故：k_PM•K_PN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关．（16分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．