Question

【题目】已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为 ．
（1）求a，b；
（2）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设知 =3，即 =9，故b2=8a2

所以C的方程为8x2﹣y2=8a2

将y=2代入上式，并求得x=± ，

由题设知，2 = ，解得a2=1

所以a=1，b=2

（2）解：由（1）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①

由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2 代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2= ， ，于是

|AF1|= =﹣（3x1+1），

|BF1|= =3x2+1，

|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即

故 = ，解得 ，从而 =﹣

由于|AF2|= =1﹣3x1，

|BF2|= =3x2﹣1，

故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16

因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列

【解析】（1）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线 建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（2）由（1）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x11），B（x2 ， y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2= ， ，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系 ，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．