Question

【题目】已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；

（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明； （3）

【解析】

（1）根据数列的通项公式与前n项和之间的关系，求得，得到数列为首项，公比的等比数列，即可求解．

(2)由，化简得，得到数列为首项为，公差为的等差数列，求得，即可求解．

（3）由（2）得，利用乘公比错位相减法，求得，再由（1）得，又由对，都有恒成立，得恒成立，即可求解．

（1）由题意，当时，，所以，

当时，，，

两式相减得，又，所以，

从而数列为首项，公比的等比数列，

从而数列的通项公式为．

(2)由两边同除以，得，

从而数列为首项，公差的等差数列，所以，

从而数列的通项公式为．

（3）由（2）得，

于是，

所以，

两式相减得，

所以，

由（1）得，

因为对，都有，即恒成立，

所以恒成立，

记，所以，

因为，从而数列为递增数列，

所以当时，取最小值，于是.