Question

20．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{12}$，则要得到函数F（x）=f′（x）-f（x+$\frac{π}{12}$）的图象，只需把函数f（x）的图象（　　）

• A． 向左平移$\frac{π}{6}$个单位，纵坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍
• B． 向右平移$\frac{π}{6}$个单位，纵坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍
• C． 向左平移$\frac{π}{3}$个单位，纵坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍
• D． 向右平移$\frac{π}{3}$个单位，纵坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍

Answer 1

分析 由题意根据正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：由于函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{12}$，
可得2×$\frac{π}{12}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
再结合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），∴f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
∴F（x）=f′（x）-f（x+$\frac{π}{12}$）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）-sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2xcos$\frac{π}{3}$-2sin2xsin$\frac{π}{3}$-cos2x=-$\sqrt{3}$sin2x．
故把函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=-sin2x的图象；
再把所得图象的纵坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，可得F（x）=-$\sqrt{3}$sin2x的图象，
故选：C．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．