Question

已知数列．
（I）设，证明：数列{b_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）设对一切正整数n均成立，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵=，
∴{b_n}为等差数列，公差为1．
又b₁=0，∴b_n=n-1，∴． …（4分）
（Ⅱ）解：设，则
3．∴．
∴．
∴．…（8分）
（Ⅲ）解：由已知得，从而求得
猜测C₁最大，下证：
∵=，
∴存在k=1，使得C_n≤C_k对一切正整数n均成立． …（12分）
分析：（Ⅰ），利用等差数列的定义，即可证明{b_n}为等差数列，公差为1，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法及等比数列的求和公式，即可求得结论；
（Ⅲ）根据通项计算前几项，猜测C₁最大，再进行证明．
点评：本题考查等差数列的定义，考查错位相减法求和，考查恒成立问题，正确运用求和是关键．