题目内容

已知数列 $数学公式$ ．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设 $数学公式$ 的前n项和T_n．

解：（I）由S₁=a₁= $\text{[math]}$ （1-a₁），得a₁= $\text{[math]}$ ；
当n≥2时，a_n= $\text{[math]}$ （1-a_n）- $\text{[math]}$ （1-a_n-1）= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ a_n-1∴ $\text{[math]}$ ₌ $\text{[math]}$ _，∴数列{a_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，∴a_n= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ：

（II）∵f（x）= $\text{[math]}$ ，
∴b_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1+2+3+…+n= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ ），
∴T_n= $\text{[math]}$ =2[（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）根据数列的性质S₁=a₁可以求出a₁的值，然后再利用递推公式相减，从而推出数列{a_n}为等比数列，从而求解；
（II）由（I）知a_n的通项公式把a₁到a_n代入 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，然后再求其倒数，可以发现 $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ ），从而得其前n项和T_n．
点评：此题考查等比数列的性质及其前n项和，第一问比较基础还是应用递推公式相减，第二问要充分利用第一问的结论，这一点以后做题时要注意．

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（2013•潍坊一模）已知数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成等差数列{b_n}，S_n是{b_n}的前n项和，且b₁=a₁=1，S₅=15．
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（2013•潍坊一模）已知数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成等差数列{b_n}，S_n是{b_n}的前n项和，且b₁=a₁=1，S₅=15．
（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a₉=16，求a₅₀的值；
（Ⅱ）设Tn=

（2008•杨浦区二模）（理）已知向量

=(x2+1，-x)，

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（1）求数列{a_n}的通项公式；
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