Question

设椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且⊥．

 （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；                       

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，

若点使得以为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．      

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由题意知，，

    ∵知为的中点，⊥

∴中，

，又

∴

故椭圆的离心率    ……………………………………………3分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知得，于是, ，

    的外接圆圆心为（，0），半径=,

所以，解得=2，∴，， 

所求椭圆方程为      ………………………………………6分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，设，

    由           代入得

    则，  ………………………8分

   

    由于菱形对角线垂直，则

    故

即

         ……………………………10分

    由已知条件知

∴  

∴  故的取值范围是．……12分

【解析】略