Question

【题目】设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．

（1）若β是关于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；

（2）设复数β满足条件|β+3|+（﹣1）n|β﹣3|=3a+（﹣1）na（其中n∈N*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点，求轨迹C1与C2的方程；

（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于，求实数x0的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）m=4（2） （3）或

【解析】

（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出的值．

（2）分为奇数和偶数，化出的范围，联立双曲线方程，求出值，推出双曲线方程即可．

（3）设点的坐标，求出表达式，根据范围，的对称轴讨论，时，的最小值，不小于，求出实数的取值范围．

解：（1）是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根，

则，所以

（2）①当为奇数时，，常数，

轨迹为双曲线，其方程为，；

②当为偶数时，，常数，

轨迹为椭圆，其方程为；

依题意得方程组

解得，

因为，所以，

此时轨迹为与的方程分别是：，；．

（3）由（2）知，轨迹，设点的坐标为，

则

，

当即时，，

当即时，，

综上或．