Question

【题目】已知函数

（1）若函数在的切线与直线垂直，求的值；

（2）讨论函数的单调性.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）当a≤0时，f (x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,+∞)上单调递增.

【解析】

（1）由导数的几何意义表示该点处切线的斜率，由其与已知直线垂直即斜率乘积为-1构建方程解得答案；

（2）由解析式可知定义域为(0,+∞)，由(1)可知，当a≤0时，显然f'(x)>0，即可表示单调性；当a>0时，令f'(x)=0解得两根（舍）或，由二次函数的图象与性质可得f'(x)<0与 f'(x)>0的解集，即可表示单调性.

（1）因为函数，即

所以f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=2-a.

又因为f(x)在(1,f(1))处的切线与直线y=2-x垂直,且直线y=2-x的额斜率为-1,

所以，故a=1.

（2）f (x)的定义域为(0,+∞)，且由(1)可知

因为有，当a≤0时，显然f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，令f'(x)=0得，其判别式△=1+4a>0

该方程有两个不等实根为（舍）或

令f'(x)<0解得0<x<；令f'(x)>0解得x>，

所以f(x)在(0,)上单调递减，在(,+∞)上单调递增

综上所述，当a≤0时，f (x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,+∞)上单调递增.