Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n≥2）
（1）求a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表达式，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n≥2）．分别令n=2，3，即可得出；
（2）由（1）猜想出an=

1

3n-2

（n∈N^*），再利用数学归纳法证明即可．

解答：解：（1）由数列{a_n}，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n≥2）．
令n=2，则a₃=

a2

2-a2

=

1 4

2- 1 4

=

1

7

；
令n=3，则a4=

2a3

3-a3

=

2× 1 7

3- 1 7

=

1

10

．
（2）由（1）可猜想an=

1

3n-2

(n∈N*)．
下面利用数学归纳法加以证明：
①当n=1，2，3，4时，由（1）和已知经验证可知：结论成立；
②假设当n=k（k≥4）时，结论也成立，即ak=

1

3k-2

(k∈N*)；
那么当n=k+1时，由题设与归纳假设可知：ak+1=

(k-1)ak

k-ak

=

(k-1)× 1 3k-2

k- 1 3k-2

=

k-1

(3k+1)(k-1)

=

1

3(k+1)-2

．
即当n=k+1时，结论也成立．
综上，对?n∈N^*，an=

1

3n-2

成立．

点评：本题考查了递推式的意义、数学归纳法的应用，属于难题．