Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥B₁C；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁C-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱得到面ABB₁A₁⊥面ABC，从而证得AC⊥面ABB₁A₁，连接AB₁，可得A₁B⊥AB₁，最后由三垂线定理得A₁B⊥B₁C；
（II）作BD⊥B₁C，垂足为D，连接A₁D，根据二面角平面角的定义可知∠A₁DB为二面角A₁-B₁C-B的平面角，根据Rt△A₁B₁C≌Rt△B₁BC，可求出此角，从而得到二面角A₁-B₁C-B的大小．
解答：解：（I）由AC=1，AB=，BC=知AC²+AB²=BC²，
所以AC⊥AB．
因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，面ABB₁A₁⊥面ABC，
所以AC⊥面ABB₁A₁．（3分）
由，知侧面ABB₁A₁是正方形，连接AB₁，
所以A₁B⊥AB₁．
由三垂线定理得A₁B⊥B₁C．（6分）



（II）作BD⊥B₁C，垂足为D，连接A₁D．由（I）知，A₁B⊥B₁C，则B₁C⊥面A₁BD，
于是B₁C⊥A₁D，则∠A₁DB为二面角A₁-B₁C-B的平面角．（8分）∵A₁B₁⊥A₁C₁，∴A₁B₁⊥A₁C．
∵，
∴Rt△A₁B₁C≌Rt△B₁BC，
∴，
∴，
，
故二面角A₁-B₁C-B的大小为．（12分）
点评：本题主要考查了空间两直线的位置关系，以及二面角及其度量，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力．