Question

已知向量

m

=(sinx，-1)，

n

=(

3

cosx，-

1

2

)，函数f(x)=

m

2+

m

•

n

-2．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f（B）=1，求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到f(x)=sin(2x-

π

6

)，直接由2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z即可得到使函数取得最大值1的x的取值集合；
（Ⅱ）由B为锐角，利用f（B）=1求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比数列得到sin²B=sinAsinC，代入化简后即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

2+

m

•

n

-2=(

m

+

n

)•

m

-2
=(sinx+

3

cosx，-

3

2

)•(sinx，-1)-2
=sin2x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．
故f（x）_max=1，此时2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得x=kπ+

π

3

，k∈Z．
所以取得最大值的x的集合为{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}．
（Ⅱ）由f（B）=sin(2B-

π

6

)=1，又∵0＜B＜

π

2

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

5

6

π．
∴2B-

π

6

=

π

2

，∴B=

π

3

．
由a，b，c成等比数列，则b²=ac，∴sin²B=sinAsinC．
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

=

1

sinB

=

1

3 2

=

2 3

3

．

点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，解答此题的关键是“降幂化积”，“角边互化”．是解决此类问题常用到的办法，此题是中档题．