Question

（2012•上海二模）已知向量

m

=(sin(2x+

π

6

)，sinx)，

n

=（1，sinx），f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（

B

2

）=

2 +1

2

，b=

5

，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用两角和与差的直正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函数的最小正周期；根据正弦函数的单调递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递减区间；
（2）由（1）得出的解析式及f（

B

2

）=

2 +1

2

，求出sinB的值，再由b，c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由b大于c，得到C为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sin(2x+

π

6

)，sinx)，

n

=（1，sinx），f（x）=

m

•

n

．
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin²x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

（1-cos2x）=

3

2

sin2x+

1

2

，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
令2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），解得：kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

（k∈Z），
则f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]（k∈Z）；
（2）由（1）确定的函数解析式，可得f（

B

2

）=

3

2

sinB+

1

2

=

2 +1

2

，
整理得：sinB=

6

3

，又b=

5

，c=

3

，
根据正弦定理得：sinC=

csinB

b

=

10

5

，
又b＞c，∴B＞C，即C为锐角，
∴cosC=

1-sin2C

=

15

5

，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：3=a²+5-2

3

a，即a²-2

3

a+2=0，
解得：a=

3

+1或a=

3

-1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的恒等变换应用，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的单调性，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．