Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1处取得极大值10，则

a

b

的值为

 

．

Answer 1

分析：由于f′（x）=3x²+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，于是有b=-3-2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．

解答：解：∵f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
又f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1处取得极大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，
∴a²+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
当a=-2，b=1时，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
当

1

3

＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当a=-6，b=9时，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；
则

a

b

=-

6

9

=-

2

3

故答案为：-

2

3

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x²+2ax+b，利用f′（1）=0，f（1）=10求得a，b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．