Question

17．若定义在（-∞，1）∪（1，+∞）上的函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且当x∈（1，+∞）时，f（x）=|$\frac{2x-3}{x-1}$|则下列结论中错误的是（　　）

• A． 存在t∈R，使f（x）≥2在[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]上恒成立
• B． 存在t∈R，使0≤f（x）≤2在[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]上恒成立
• C． 存在t∈R，使f（x）在[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]上始终存在反函数
• D． 存在t∈R⁺，使f（x）在[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]上始终存在反函数

Answer 1

分析 利用对称性作出f（x）的函数图象，根据图象即可判断出结论．

解答 解：∵f（1+x）=f（1-x），∴f（x）关于直线x=1对称，
作出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）≥2的解集为（$\frac{3}{4}$，1）∪（1，$\frac{5}{4}$），
∴不存在一个长度为1的区间[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]使得f（x）≥2恒成立，故A错误，
由图象可知0≤f（x）≤2的解集为（-∞，$\frac{3}{4}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞），
∴存在一个长度为1的区间[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]使得0≤f（x）≤2在[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]上恒成立，故B正确；
由图象可知f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞）上为单调函数，
∴存在某个区间[t-$\frac{1}{2}$，t$+\frac{1}{2}$]⊆（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），使得f（x）在此区间上存在反函数，
故C，D正确；
故选A．

点评 本题考查了函数的对称性判断，函数具有反函数的条件，属于中档题．