题目内容
已知
=(sin
，cos
)，
=(cos
，
cos
)，函数f(x)=
•
．
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）的形式，并求其图象对称中心的坐标；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．
| a |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| b |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
| a |
| b |
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）的形式，并求其图象对称中心的坐标；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．
分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的对称中心、对称轴方程求解即可；
（2）通过b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范围，然后求出x的范围，求出
x+
的范围，利用 f（x）=sin（
x+
）+
，求出函数f（x）的值域．
（2）通过b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范围，然后求出x的范围，求出
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
解答：解：（1）f(x)=
•
=sin
cos
+
cos2
=
sin
+
cos
+
=sin（
+
）+
令sin（
+
）=0⇒
+
=kπ，解得：x=
-
（k∈Z），
而y=f（x）的图象可由y=sin（
+
）向上平移
个单位得到，
故所求对称中心的坐标为（
-
，
）（k∈Z）
（2）cosx=
=
≥
，
即cosx≥
，而x∈（0，π），所以x∈（0，
]，
∴
+
∈（
，
]，sin（
+
）∈[sin
，1]，
所以f（x）的值域为[sin
+
，1+
]
综上所述，x∈（0，
]，f（x）的值域为[sin
+
，1+
]
| a |
| b |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
=
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
令sin（
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3kπ |
| 2 |
| π |
| 2 |
而y=f（x）的图象可由y=sin（
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
故所求对称中心的坐标为（
| 3kπ |
| 2 |
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
（2）cosx=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
即cosx≥
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 9 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 9 |
所以f（x）的值域为[sin
| 5π |
| 9 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
综上所述，x∈（0，
| π |
| 3 |
| 5π |
| 9 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题以向量为载体，考查向量的数量积运算，考查三角函数的化简，同时考查了三角函数的性质，解题时，应掌握整体思维的策略．
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