Question

α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断:

①m⊥n  ②α⊥β  ③n⊥β  ④m⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：___________________________________.

 

Answer 1

答案：
解析：

m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n，或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β.（二者任选一个即可）

提示：

假设①、③、④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立， 如图，过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B. 又设m⊥α的垂足为A， 过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C， 因为l⊥PA，l⊥PB，所以l⊥平面PAB，得l⊥AC，l⊥BC，∠ACB是二面角α－l－β的平面角. 显然∠APB+∠ACB=180°，因为PA⊥PB，所以∠ACB=90°，得α⊥β.由①、③、④推得②成立. 反过来，如果②、③、④成立，与上面证法类似可得①成立.