Question

（2010•淄博一模）已知双曲线y2-

x2

3

=1，的两焦点F₁、F₂，动点P与F₁，F₂的距离之和为大于4的定值，且向量|

PF1

|•|

PF2

|的最大值为9，
（1）求动点P的轨迹E的方程
（2）若A、B是曲线E上相异两点，点M（0．-1）满足

AM

=λ

MB

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，再求出椭圆中的a，b的值即可．
（2）设出A，B点的坐标，以及直线AB的方程，代入椭圆方程，求x1+x2，x1x2，根据

AM

=λ

MB

，找到x1，x2之间的关系，再根据前面所求关系式，化简，即可得λ的方程，解λ即可．

解答：解：（1）双曲线y2-

x2

3

=1的两焦点为F₁（0，-2），F₂（0，2），
设已知定值为2a（2a＞4），则|PF₁|+|PF₂|=2a，
因此，动点P的轨迹E是以F₁（0，-2），F₂（0，2）为焦点的长轴长为2a的椭圆；
设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
∵|PF1|•|PF2|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=a2，
（当且仅当|PF₁|=|PF₂|时等号成立）…（4分）∴a²=9，b²=9-4=5
于是，动点P的轨迹E的方程为：

y2

9

+

x2

5

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AM

=λ

BM

，
得

-x1=λx2 -1-y1=λ(1+y2)

，
且M、A、B三点共线
设三点所在的直线为l
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=kx-1
由

y=kx-1 y2 9 + x2 5 =1

得(5k2+9)x2-10kx-40=0…（7分）△=（-10k）²+160（5k²+9）＞0恒成立
由

x1+x2= 10k 5k2+9 x1•x2= -40 5k2+9

将x₁=-λx₂代入并消去x₂，
得

(1-λ)2

λ

=

5 2 k2

5k2+9

当k=0时，λ=1
当k≠0时，由于0＜

5 2 k2

5k2+9

=

5 2

5+ 9 k2

＜

1

2

∴0＜

(1-λ)2

λ

＜

1

2

整理得2λ²-5λ+2＜0∴

1

2

＜λ＜2且λ≠1
②当直线l的斜率不存在时，
A、B分别为椭圆长轴的两个端点；
此时，λ=

-1-y1

1+y2

=

1

2

或2
综上所述，实数λ的取值范围为[

1

2

，2]．

点评：本体考查了定义法求轨迹方程，以及直线与圆位置关系的应用．关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理进行求解．